Spójrzmy na poniższy rysunek, na którym znajduje się funkcja \(f(x)\), która jest naszym punktem wyjścia oraz dwie nowe funkcje \(g(x)\) oraz \(h(x)\), które powstały w wyniku dokonania pewnych przesunięć. Gdy chcemy przesunąć ten wykres to możemy to zrobić w prawo, w lewo, w górę lub w dół. Każde z takich przesunięć powoduje nam zmianę wzoru funkcji. Narysujemy otrzymany w ten sposób wykres funkcji g oraz zapiszemy jej wzór. Odczytaj z wykresu dla jakich argumentów podana funkcja przyjmie takie wartości, a następnie policz ile ich jest.

Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej

1. Funkcja \(h(x)\) będzie przyjmować dokładnie takie same wartości jak funkcja \(f(x)\), tylko będzie się to działo dla innych argumentów.
2. Rysowanie może zostać wykonane dla 100 różnych funkcji, które zostaną przedstawione na jednym wykresie.
3. W tym celu kliknij w przycisk pod legendą “zapisz wykres jako obraz”.
4. Po wprowadzeniu wszystkich danych, rysuj wykres funkcji, klikając zielony przycisk.

Rysowanie wykresu funkcji liniowej sprawia Ci trudność? Narzędzie na podstawie wprowadzonych danych stworzy wykres dowolnej funkcji, choćby takiej jak wspomniana już funkcja liniowa. Następnie musisz wydać polecenie “rysuj funkcje” i gotowe. Wyposażona w taką możliwość aplikacja okaże się niezastąpionym wsparciem dla ucznia, nauczyciela i każdego, kto ma do czynienia z funkcjami matematycznymi. Jeżeli nie dostrzegasz za bardzo tych zależności, to poniżej możesz zobaczyć takie proste zobrazowanie tej całej sytuacji.

Wykresy wielomianów: zadania z wyzwania

Rysując wykres funkcji na podstawie wykresu odbijamy symetrycznie względem osi , te wartości funkcji, które znajdują się pod osią . Zaproponuj jakie kolejne trzy przekształcenia należy wykonać, aby na podstawie wykresu funkcji  (na rysunku zaznaczony niebieskim kolorem) otrzymać wykres funkcji na rysunku zaznaczony czerwonym kolorem. Znajdź punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy. Widzimy, że zielona funkcja Hantec Markets Forex Broker-przegląd i informacje Hantec rynki \(g(x)\) jest przesunięta o \(2\) jednostki w górę względem niebieskiej \(f(x)\), natomiast pomarańczowa \(h(x)\) jest przesunięta o \(3\) jednostki w lewo względem niebieskiej \(f(x)\). Sytuacja zaprezentowana na powyższym rysunku jest właśnie klasycznym przykładem przesunięć/przekształceń wykresu funkcji. Jak takie przekształcenia mogą wyglądać i jaki ma to wpływ na wzory oraz wykresy takich funkcji.

Przekształcenia wykresów funkcji

Rysując wykres funkcji na podstawie wykresu , przesuwamy ten wykres o jednostek w lewo. Rysując wykres funkcji na podstawie wykresu , przesuwamy ten wykres o jednostek w prawo. Kalkulator funkcji umożliwia rysowanie wykresów dowolnych funkcji wprowadzonych przez użytkownika. Domyślnie funkcja rysowana jest w przedziale (-∞,∞), jednak możesz podać również własny przedział dla zmiennej x.

Rysowanie wykresu funkcji y=f(x)

To teraz funkcja \(h(x)\), która jak widzimy po wzorze, jest przesunięta o \(3\) jednostki w prawo. Jak takie przesunięcie wpłynie na zbiór wartości? Okazuje się, że takie przesunięcie w ogóle nie wpłynie na zbiór wartości. Funkcja \(h(x)\) będzie przyjmować dokładnie takie same wartości jak funkcja \(f(x)\), tylko będzie się to działo dla innych argumentów. W takim razie zbiorem wartości funkcji \(h(x)\) będzie przedział \(\langle-3;5\rangle\). Nasz generator umożliwia rysowanie wykresu funkcji liniowej lub innej wprowadzonej przez użytkownika.

Prosty program do rysowania/szkicowania wykresów funkcji jednej zmiennej

Oczywiście nie wiemy jak dokładnie wygląda funkcja \(f(x)\), więc ten rysunek jest bardzo umowny, ale pozwoli on zrozumieć dlaczego zmienił się zbiór wartości funkcji \(g(x)\), a nie zmienił funkcji \(h(x)\). Nasze wnioski na temat różnych funkcji nie muszą się ograniczać tylko do samego określania przesunięć. Jedną z ważniejszych obserwacji jest dostrzeżenie, że każde takie przekształcenie zmienia kluczowe parametry danej funkcji np. Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, miejsca przecięcia się z osiami czy też położenie innych charakterystycznych punktów. Przesunięcia w górę/w dółTo zdecydowanie najłatwiejszy do omówienia rodzaj przekształcenia.

Przekształcenia wykresu funkcji

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji g. Właśnie z przesunięciami w lewo/w prawo wiąże się najwięcej trudności, bo na pierwszy rzut oka wydają się one mniej intuicyjne jeśli chodzi o zapisywanie wzoru. Pamiętaj, że mając przesunięcie w lewo musimy w nawiasie dać znak dodawania, a mając przesunięcie w prawo dajemy w nawiasie znak odejmowania, mimo iż intuicja podpowiadałaby odwrotny mechanizm. Przesunięcia w lewo/w prawoSpójrzmy teraz na nowy rysunek, na którym znajduje się funkcja \(f(x)\), względem której powstały dwie nowe funkcje \(i(x)\) oraz \(j(x)\). Przekształcenia wykresów funkcji to temat, który bardzo często pojawia się na maturze i który jednocześnie sprawia sporo problemów.

Widać to bardzo dobrze po miejscach przecięcia się z osią \(OX\) lub też po wierzchołku paraboli. Tu przy okazji mała podpowiedź – analizując przesunięcia/przekształcenia, dobrze jest zwracać uwagę na najbardziej charakterystyczne punkty wykresu danej Najlepsze automaty kursy pies: jest przeznaczony na pokrycie Gambit obiektów handlowych funkcji. W powyższym przykładzie takim idealnym odniesieniem był wierzchołek paraboli, ale mogą to być też miejsca przecięcia się z osią czy też różne załamania wykresu. Z osią Ox wykres funkcji nie przecina się, ponieważ cały leży nad tą osią.

Rysowanie może zostać wykonane dla 100 różnych funkcji, które zostaną przedstawione na jednym wykresie. Materiał zawiera ćwiczenia sprawdzające umiejętność odczytywania własności funkcji z wykresu. Na podstawie wykresu funkcji  przestawionego na rysunku, narysuj wykres funkcji  . Na podstawie wykresu funkcji przedstawionego na rysunku, narysuj wykres funkcji  .

Odczytaj wartości funkcji dla wyszczególnionych argumentów, a następnie wykonaj odpowiednie działania. To znaczy, że możesz po kliknięciu w niego, przesunąć go kursorem myszki wzdłuż osi x i y. Natomiast, używając scrolla myszki, zmienisz skalę wykresu. Cały wykres leży nad osią Ox, więc nie ma punktów wspólnych z tą osią.

Spróbujmy zatem omówić wszystkie kluczowe aspekty związanie z przekształceniami, tak aby rozwiać wszelkie wątpliwości. Podsumujmy teraz własności funkcji wykładniczych, wykorzystując ich wykresy. W tym celu uzupełnijmy tabelę wartościami funkcji dla kilku wybranych argumentów. Wyznacz wartości tej funkcji dla podanych argumentów korzystając ze wzoru funkcji.

Domyślnie funkcję liniową kalkulator rysuje w przedziale (-∞,∞). Nic jednak nie stoi na przeszkodzie, by dodać własny przedział dla zmiennej x. Uzyskać wykres funkcji e, wystarczy, że wpiszesz Nie spieszy się z inwestycjami w Macedonii wybrane wartości we wskazane pola. Po wprowadzeniu wszystkich danych, rysuj wykres funkcji, klikając zielony przycisk. Kalkulator na ich podstawie stworzy i wyświetli poniżej wykresy.

Wykres funkcji zaznaczony czerwonym kolorem, to wykres funkcji . A to jeszcze nie wszystko, bo wykres narysowany przez generator wykresów funkcji możesz zapisać jako plik graficzny w formacie PNG. W tym celu kliknij w przycisk pod legendą “zapisz wykres jako obraz”. W razie potrzeby możesz też wyczyścić wykresy. Rysowanie rozpocznie się wtedy od nowa w oparciu o wprowadzone ponownie dane.

Na podstawie wykresu funkcji przedstawionego na rysunku, narysuj wykres funkcji . Odbijamy symetrycznie względem osi , te wartości funkcji, które znajdują się poniżej tej osi. Na podstawie wykresu funkcji z Rys.1, narysuj wykres funkcji .

Przesunięcie kursora myszki po kliknięciu w wykres pozwala na jego przesunięcie wzdłuż osi x i y. Zastanów się dla jakich argumentów podana funkcja przyjmie takie wartości. Argumenty funkcji o podanych wartościach możesz również wyznaczyć odpowiednio przekształcając wzór funkcji. Tym razem funkcja \(f(x)\) została przesunięta w lewo o \(3\) jednostki, tworząc nową funkcję \(i(x)\), a gdy przesunęliśmy ją w prawo o \(2\) jednostki to powstała nam funkcja \(j(x)\).